Modelos Probabilísticos Matriciais para Dados de Sensoriamento Remoto
Dr. Jodavid Ferreira
PPGE | Estatística | UFPE
Estrutura da Apresentação
- Imagem de Sensoriamento Remoto
- Dados PolSAR
- Modelagem de dados PolSAR
- Resultados e Conclusões
Introdução
RADAR é um acrônimo de Radio Detection and Ranging
Ele é baseado nos princípios de propagação eletromagnética, em que uma onda eletromagnética é emitida por uma fonte e é retroespalhada para o radar
Uma imagem de radar é o resultado de uma interação entre a energia emitida pelo radar e o objeto sob estudo, e a aparência da imagem é influenciada pela forma e a textura do alvo;
Introdução
Radar de Abertura Sintética (Synthetic Aperture Radar - SAR) geralmente são estão acoplado a uma plataforma que transmite micro-ondas ao longo de sua rota planejada em direção a um cenário geográfico;
Pulsos são emitidos em direção ao cenário e o radar recebe os sinais de retorno que são processados para formar uma imagem, estes podem ser na polarização circular ou linear.
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- Quando apenas um par de direções é usado, as imagens geradas são chamadas de SAR monopolarizadas e, quando várias direções são usadas, o processo é chamado de PolSAR (SAR Polarimétrico);
Introdução
Vantagens
- Images SAR podem ser obtidas de qualquer lugar (terra, mar, ar);
- a qualquer momento (dia ou noite);
- em quase todas as condições climáticas (nuvens, chuva);
- produzem imagens de alta resolução (alta largura de banda) das superfícies estudadas;
Desvantagens
- custo elevado para aquisição e manutenção dos satélites e radares;
- as imagens são afetadas por um ruído chamado speckle, que cria uma aparência granulada nas imagens, dificultando a interpretação e análise;
Introdução
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Speckle em imagem SAR.
Dados Polarimétricos multi-look
- Cada entrada de uma image PolSAR é associada com os elementos da seguinte matriz:
\[
\mathbf{S}=\left( \begin{array}{cc}
S_{hh} & S_{hv} \\
S_{vh} & S_{vv} \end{array} \right)
\label{matrizpolar}
\]
em que \(S_{hh}\), \(S_{hv}\), \(S_{vh}\) e \(S_{vv}\) são os coeficientes de espalhamento complexos do alvo para os respectivos canais de polarização, e os subscritos \(h\) e \(v\) representam a polarização horizontal e vertical, respectivamente, e,
\[
S_{rs} = A_{rs} e^{i \phi_{rs}} = \mathrm{Re}(S_{rs}) + i \mathrm{Im}(S_{rs})
\]
em que \(\mathrm{Re}(S_{rs})\) e \(\mathrm{Im}(S_{rs})\) são as partes real e imaginária do coeficiente de espalhamento, respectivamente, e \(i\) é a unidade imaginária, \(A_{rs}\) é a amplitude do coeficiente de espalhamento e \(\phi_{rs}\) é a fase do coeficiente de espalhamento, para \(r,s \in \{h,v\}\).
Dados Polarimétricos multi-look
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- Na prática, as polarizações cruzadas são muito semelhantes; ou seja, \(S_{hv} \approx S_{vh}\).
Dados Polarimétricos multi-look
- Dados PolSAR single-look não levam em conta o controle do efeito speckle sobre as imagens
- Um processo para contornar isso é chamado de processamento multi-look
Dados Polarimétricos multi-look
\(\mathbf{z}_i = (S_1^{(i)}\,S_2^{(i)}\,\cdots\,S_p^{(i)})^{\top} \, \in \mathbb{C}^{p}\) é o \(i\)-ésimo vetor associado a \(p\) canais de polarização em uma amostra de \(L\) informações extraídas da mesma cena, para \(i=1,\ldots,L\).
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Dados Polarimétricos multi-look
- Uma imagem PolSAR pode ser entendida como uma cena, na qual cada entrada está associada a uma matriz hermitiana definida positiva, o que requer o uso de métodos de processamento multivariado
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Modelos da literatura
para retornos PolSAR por MM
Como o ruído speckle é multiplicativo, o modelo multiplicativo (MM) é um mecanismo gerador de distribuições PolSAR que tem sido amplamente utilizado para modelar os dados multi-look.
Sejam \(X\) e \(\boldsymbol{Y}\) duas variáveis aleatórias positivas e independentes tal que, \(X\) está associado ao retroespalhamento, enquanto \(\boldsymbol{Y}\) descreve o speckle.
O MM para imagens PolSAR multilook assume que cada pixel segue a identidade \(\boldsymbol{Z}=\boldsymbol{Y}\times X\).
Nesse caso, enquanto a variável aleatória \(X\) modela o retroespalhamento do terreno, \(\boldsymbol{Y}\) descreve o ruído speckle multidimensional multi-look.
Modelos da literatura
para retornos PolSAR por MM
Tomando o MM como mecanismo gerador de distribuições PolSAR, cada retorno associado a uma entrada da imagem é o produto de duas variáveis aleatórias independentes, que descrevem a configuração do terreno e o efeito do speckle.
O retorno \(\mathbf{Z} = \mathbf{Y} X\) tem densidade dada por (ANFINSEN; ELTOFT , 2011)
\[\begin{align*}
\begin{array}{lr}
f_{\mathbf{Z}}(\dot{\mathbf{Z}})
=
\int_0^{\infty}
x^{-m^2}\underbrace{f_{\mathbf{Y}}(\dot{\mathbf{Z}}/x)}_{\text{Speckle}}\underbrace{f_X(x)}_{\text{Backscatter}}
\mathrm{d}x, & (25)
\end{array}
\end{align*}\]
em que \({\dot{\mathbf{Z}}}\in\mathbf{\Omega}_+:=\{\mathbf{Z}\in \mathbb{C}^m\times \mathbb{C}^m:\mathbf{Z}=\mathbf{Z}^*\}\) é uma possível realização de \(\mathbf{Z}\) e \((\cdot)^*\) é o operador transposto conjugado.
Modelos da literatura
para retornos PolSAR por MM
Resumo das distribuições matriciais1.
Modelos da literatura
para retornos PolSAR por MM
Limitações desses modelos:
1 - Eles não conseguem modelar adequadamente os dados PolSAR que apresentam intensidades multimodais, ou seja, aquelas que possuem mais de um pico em suas distribuições de intensidade.
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Distribuição Wishart
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Distribuição \(\mathcal{G}^0_m\)
Modelos da literatura
para retornos PolSAR por MM
2 - Esses modelos não levam em consideração a variação do número de retroespalhadores entre as células de resolução, o que pode resultar em uma representação inadequada dos dados PolSAR.
- Tomando apenas um canal de polarização, sabe-se que se o número de espalhadores, diga-se \(n\), em uma célula de resolução for grande o suficiente e aproximadamente constante entre diversos pixels, então o sinal eletromagnético retornado
\[
S_{rs} = \sum_{k=1}^N S^{(k)}_{rs} = \sum_{k=1}^N A_{rs}^{(k)} e^{i \phi_{rs}(k)},
\]
segue a lei Gaussiana complexa, em que \(S^{(k)}_{rs}\) é a quantidade de valor complexo que representa o espalhador individual.
Modelagem Estatística
Retroespalhadores
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Como o número de retroespalhadores mudam entre as células de resolução, é interessante que ele seja descrito como uma variável aleatória, diga-se \(N\).
Modelagem Estatística
Modelos da literatura e formulação física das novas propostas
- Há evidências de que a distribuição Wishart complexa pode representar o retorno PolSAR de cenários homogêneos.
- As distribuições Poisson truncada e geométrica podem ser usadas para modelar a quantidade de sinais retornados em uma célula de resolução.
- Combinando essas duas evidências, propomos a soma aleatória da distribuição Wishart complexa com o número de termos seguindo as leis Poisson truncada e geométrica como dois descritores para o retorno de dados PolSAR.
Modelagem Estatística
Novos modelos
Primeiramente, seja \(\mathbf{Z}_i\sim \mathcal{W}_{m}^{\mathbb{C}}(\mathbf{\Sigma},L)\) para \(i=1,\ldots,N\) com função densidade de probabilidade
\[\begin{align}
\begin{array}{lr}
f({\dot{\mathbf{Z}}_i}) =
\frac{|{\dot{\mathbf{Z}}_i}|^{L-m}}{|\mathbf{\Sigma}|^L\Gamma_m(L)}
\exp \left\{ - \operatorname{tr} \left(\mathbf{\Sigma}^{-1}{\dot{\mathbf{Z}}_i} \right) \right\}
\, \mathbb{I}_{ \mathbf{ \Omega }_+ } ( \dot{ \mathbf{S} } )
\end{array}
\end{align}\]
em que \(\Gamma_m(L)\) é a função gama multivariada. Então, seja \(\mathbf{S}_k=\sum_{i=1}^k\mathbf{Z}_i\sim \mathcal{W}_{m}^{\mathbb{C}}(\mathbf{\Sigma},kL)\) e a matriz de coerência por célula segue a soma composta \[\mathbf{S}=\sum_{i=1}^N\mathbf{Z}_i\] com \(N\sim \text{TPo}(\lambda)\), logo a densidade é dada por
Modelagem Estatística
Novos modelos
\[\begin{align*}
\begin{array}{lr}
\begin{array}{rl}
f({\dot{\mathbf{S}}})
&=\sum_{k=1}^\infty P(N=k)f_{\mathbf{S}_k}({\dot{\mathbf{S}}})\,\mathbb{I}_{\mathbf{\Omega}_+}(\dot{\mathbf{S}})
\\
&=
\left(\frac{1}{\mathrm{e}^\lambda-1}\right)
\sum_{k=1}^\infty\frac{\lambda^k}{k!}f_{\mathcal{W}_{m}^{\mathbb{C}}(\mathbf{\Sigma},kL)}({\dot{\mathbf{S}}})
\\
&=\left(\frac{\mathrm{e}^{-\operatorname{tr}\left(\mathbf{\Sigma}^{-1}{\dot{\mathbf{S}}}\right)}}{|{\dot{\mathbf{S}}}|^m\left(\mathrm{e}^\lambda-1\right)}\right)\sum_{k=1}^\infty\frac{\left(\lambda|\mathbf{\Sigma}^{-1}{\dot{\mathbf{S}}}|^L\right)^k}{k!\Gamma_m(kL)},
\end{array}
\end{array}
\end{align*}\]
em que \({\dot{\mathbf{S}}}=\{s_{i,j}\}\) é uma possível realização de \({\mathbf{S}}=\{S_{i,j}\}\).
Esta situação é denotada por \(\mathbf{S}\sim \text{CPT}\mathcal{W}_{m}^{\mathbb{C}}(\lambda,\mathbf{\Sigma},L)\).
Modelagem Estatística
Novos modelos
Agora assuma que \(N\sim \text{Geo}(p)\) e \(\mathbf{Z}_i\sim \mathcal{W}_{m}^{\mathbb{C}}(\mathbf{\Sigma},L)\) para \(i=1,\ldots,N\), a matriz de coerência por célula segue a soma composta \(\mathbf{S}=\sum_{i=1}^N\mathbf{Z}_i\) com densidade
\[\begin{align*}
\begin{array}{lr}
\begin{array}{rl}
f({\dot{\mathbf{S}}})
&=\sum_{k=1}^\infty P(N=k)f_{\mathbf{S}_k}(\dot{\mathbf{S}}) \mathbb{I}_{\mathbf{\Omega}_+}(\dot{\mathbf{S}})
\\
&=
\left(
\frac{
p\mathrm{e}^{-\operatorname{tr}\left(\mathbf{\Sigma}^{-1}{\dot{\mathbf{S}}}\right)}
}{
(1-p)|{\dot{\mathbf{S}}}|^m
}
\right)
\sum_{k=1}^\infty
\frac{
\left((1-p)|\mathbf{\Sigma}^{-1}{\dot{\mathbf{S}}}|^L\right)^k
}{
\Gamma_m(kL)
}\,\mathbb{I}_{\mathbf{\Omega}_+}(\dot{\mathbf{S}}).
\end{array}
\end{array}
\end{align*}\]
Essa situação é denotada como \(\mathbf{S}\sim \text{CG}\mathcal{W}_{m}^{\mathbb{C}}(p,\mathbf{\Sigma},L)\).
Modelagem Estatística
Novos modelos
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Densidades marginais das distribuições \(\text{CPT}\mathcal{W}_{m}^{\mathbb{C}}\) e \(\text{CG}\mathcal{W}_{m}^{\mathbb{C}}\).
- Os EMVs para os parâmetros para as ditribuições \(\text{CPT}\mathcal{W}_{m}^{\mathbb{C}}\) e \(\text{CG}\mathcal{W}_{m}^{\mathbb{C}}\) foram obtidos por meio do algoritmo EM.
Modelagem Estatística
Novos modelos
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Diagrama das relações entre distribuições PolSAR. Aqui, o vetor de parâmetros ( \(\alpha , \beta , \lambda , p\) ) representa a forma, \(\mathbf{\Sigma}\) denota um tipo de locação ou uma matriz de dispersão e \(L\) é o Número Estimado de Looks.
Experimentos Numéricos
Análise com dados artificiais
Um experimento de Monte Carlo é realizado para quantificar o comportamento assintótico dos EMVs para os parâmetros \([\lambda,\mathbf{\Sigma}]\) e \([p,\mathbf{\Sigma}]\).
- Amostras das distribuições \(\text{CPT}\mathcal{W}_{m}^{\mathbb{C}}\) e \(\text{CG}\mathcal{W}_{m}^{\mathbb{C}}\) são geradas.
- Tamanhos \(T=10, 30, 100\) e \(1000\) e mil replicas Monte Carlo são utilizadas.
- Adotamos NEL igual a quatro (L = 4).
- E uma matriz comum
\[\begin{align}
\mathbf{\Sigma}
=
\left[\!\!
\begin{array}{ccc}
0.07582+0i & 0.00364+0.00388i & 0.01604+0.01125i\\
& 0.03737+0i & 0.00151+0.00202i \\
& & 0.06308+0i
\end{array}
\!\! \right]\!\!,
\end{align}\]
com \(\text{tr}(\mathbf{\Sigma})= 0.17626 \text{ e } |\mathbf{\Sigma}| = 0.00016\) .
Experimentos Numéricos
Análise com dados artificiais
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Performance dos EMVs para dados \(\text{CPT}\mathcal{W}_{m}^{\mathbb{C}}\)
Parâmetros Verdadeiros: \(\text{tr}(\mathbf{\Sigma})= 0.17626 \text{ e } |\mathbf{\Sigma}| = 0.00016\)
Experimentos Numéricos
Análise com dados artificiais
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Performance dos EMVs para dados \(\text{CG}\mathcal{W}_{m}^{\mathbb{C}}\)
Parâmetros Verdadeiros: \(\text{tr}(\mathbf{\Sigma})= 0.17626 \text{ e } |\mathbf{\Sigma}| = 0.00016\)
Resultados
Análise de dados reais
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Mapas dos parâmetros estimados das distribuições \(\text{CPT}\mathcal{W}_{m}^{\mathbb{C}}\) (acima) e \(\text{CG}\mathcal{W}_{m}^{\mathbb{C}}\) (em baixo) para a imagem São Francisco (EUA).
Resultados
Análise de dados reais
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Mapas dos parâmetros estimados das distribuições \(\text{CPT}\mathcal{W}_{m}^{\mathbb{C}}\) (acima) e \(\text{CG}\mathcal{W}_{m}^{\mathbb{C}}\) (em baixo) para a imagem Foulum (Dinamarca).
Resultados
Análise de dados reais
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Mapas dos parâmetros estimados das distribuições \(\text{CPT}\mathcal{W}_{m}^{\mathbb{C}}\) (acima) e \(\text{CG}\mathcal{W}_{m}^{\mathbb{C}}\) (em baixo) para a imagem DEMMIN-Görmin (Alemanha).
Diagrama de Mellin
Avaliar modelagem com distribuições PolSAR é um desafio, pois as técnicas tradicionais de avaliação de ajuste não são adequadas para dados matriciais.
Sendo assim, o diagrama de Mellin é uma ferramenta útil para avaliar a qualidade do ajuste de modelos PolSAR.
O diagrama de Mellin é uma representação gráfica:
- do segundo (\(\kappa_2\)) e terceiro (\(\kappa_3\)) log-cumulantes de Mellin
- que são derivados da função geradora de cumulantes do tipo Mellin (MCGF)
- da matriz de log-cumulante (MLC)
- obtidas a partir da transformada de Mellin aplicada a matrizes aleatórias hermitianas, como as que descrevem os dados PolSAR.
Diagrama de Mellin
Seja \(\mathbf{C} \in \mathbf{\Omega}_+\), a transformada de Mellin para o mapeamento \(g(\mathbf{C}): \mathbf{\Omega}_+ \rightarrow \mathbb{R}\) é definida como:
\[\begin{align*}
\begin{array}{lr}
\phi_{\mathbf{C}}(s) & = \mathcal{M}\{g(\mathbf{C})\}(s)
= \int\limits_{\mathbf{\Omega}_+}^{}|\mathbf{C}|^{s-m}g(\mathbf{C})\mathrm{d}\mathbf{C}
\end{array}
\end{align*}\]
com \(s \in \mathbb{C}\), sempre que a integral existe. A função geradora de cumulantes do tipo Mellin (Mellin-kind cumulant-generating function - MCGF) é definida como
\[\begin{align}
\begin{array}{lr}
\varphi_{\mathbf{C}}(s) = \log \phi_{\mathbf{C}}(s)
\end{array}
\end{align}\]
e a matriz de log-cumulante (MLC) de \(\nu\) -ésima ordem é definida como
\[\begin{align}
\begin{array}{lr}
\left. \kappa_\nu{\mathbf{C}} = \dfrac{d^\nu}{ds^\nu}\varphi_{\mathbf{C}}(s) \right|_{s=m}.
\end{array}
\end{align}\]
Resultados
Análise de dados reais
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Diagrama de Mellin com amostra de MLCs calculados a partir das amostras de São Francisco (EUA).
Resultados
Análise de dados reais
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Diagrama de Mellin com amostra de MLCs calculados a partir das amostras de Foulum (Dinamarca).
Resultados
Análise de dados reais
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Diagrama de Mellin com amostra de MLCs calculados a partir das amostras de DEMMIN-Görmin (Dinamarca).
Conclusões
- Foram propostas duas novas distribuições para dados PolSAR multilook usando a abordagem de soma estocástica para descrever dados multimodais.
- Elas foram denominadas como composta Poisson truncada Wishart complexa \((\text{CPT}\mathcal{W}^\mathbb{C}_m)\) e composta geométrica Wishart complexa (\(\text{CG}\mathcal{W}^\mathbb{C}_m\)).
- Foram derivados estimadores de máxima verossimilhança (EMVs) para ajustar os modelos PolSAR através do Algoritmo Expectation-Maximization e os resultados numéricos indicaram que tais estimativas apresentaram valores baixos de viés e erros quadráticos médios para tamanhos de amostra que são realistas com a prática de processamento de dados PolSAR.
- Os diagramas de MLCs como critério de comparação apontaram que os modelos \(\text{CPT}\mathcal{W}_m^{\mathbb{C}}\) e \(\text{CG}\mathcal{W}_m^{\mathbb{C}}\) podem fornecer melhores descrições de alguns cenários PolSAR.
Conclusões
Esses resultados podem ser encontrados no artigo publicado na Remote Sensing:
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Autores: Ferreira, J.A., Nascimento, A.D.C. & Frery, A.
Ano: 2022 - DOI (link): 10.3390/rs14205083
Referências
Ferreira, J.A.; Nascimento, A.D.C.; Frery, A.C. PolSAR Models with Multimodal Intensities. Remote Sens. 2022, 14, 5083.
Anfinsen, S.N.; Doulgeris, A.P.; Eltoft, T. Goodness-of-Fit Tests for Multilook Polarimetric Radar Data Based on the Mellin Transform. IEEE Trans. Geosci. Remote Sens. 2011, 49, 2764 –2781.
Nascimento, A.D.; Rêgo, L.C.; Nascimento, R.L. Compound truncated Poisson normal distribution: Mathematical properties and Moment estimation. Inverse Probl. Imaging 2019, 13, 787–803.
Freitas, C.C.; Frery, A.C.; Correia, A.H. The Polarimetric G Distribution for SAR Data Analysis. Environmetrics 2005, 16, 13–31.
Lee, J.S.; Schuler, D.L.; Lang, R.H.; Ranson, K.J. K-distribution for multi-look processed polarimetric SAR imagery. In Proceedings of the International Geoscience and Remote Sensing Symposium (IGARSS’1994), Pasadena, CA, USA, 8–12 August 1994; Volume 4, pp. 2179–2
Distribuição Wishart
Distribuição \(\mathcal{G}^0_m\)
