Lista 4 - Exercícios

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Exercícios de Matrizes - R

1. Criação Manual de Matrizes

   1. Crie manualmente duas matrizes 2x2:
      
   • A = [1 2; 3 4]
     
   • B = [5 6; 7 8]
     
   2. Calcule manualmente e depois verifique no R:
      
   • A + B
     
   • A - B
     

   # Exemplo de solução:
   A <- matrix(1:4, nrow = 2, byrow = TRUE)
   B <- matrix(5:8, nrow = 2, byrow = TRUE)

2. Multiplicação Matricial

   1. Multiplique A pelo escalar 3 (calcule manualmente primeiro)
      
   2. Realize a multiplicação matricial A %*% B manualmente (mostre todos os cálculos) e confira no R

3. Propriedades de Matrizes

   1. Escreva a transposta de A manualmente
      
   2. Calcule o determinante de B usando a fórmula para matrizes 2x2:
      \(\text{det}(B)\)

4. Sistemas Lineares
   Resolva manualmente o sistema usando matrizes:
   \[ \begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - 3y = 6 \end{cases} \] Passos:

   1. Crie a matriz de coeficientes
      
   2. Calcule sua inversa
      
   3. Multiplique pelo vetor de constantes
      Verifique no R usando solve()

5. Matrizes Especiais

   1. Construa manualmente uma matriz identidade 3x3
      
   2. Crie uma matriz diagonal com valores [2, 4, 6]
      
   3. Combine ambas usando diag() e rbind()/cbind()

6. Autovalores e Normas

   1. Para a matriz A, resolva a equação característica \(\text{det}(A - \lambda I) = 0\) para encontrar autovalores
   2. Calcule a norma Euclidiana de B usando a fórmula:
      \(||B|| = \sqrt{\sum_{i,j} b_{ij}^2}\)

7. Conversão de Estruturas
   Converta o seguinte data frame em matriz numérica, explicando o que acontece com os tipos de dados:

   df <- data.frame(a = 1:3, b = c(4, "5", 6.0))

8. Manipulação de Dados Reais
   Com o dataset mtcars:

   1. Converta as primeiras 5 colunas em matriz
      
   2. Calcule médias por coluna usando apenas operações matriciais (sem mean())

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Exercícios de Matrizes - Python

1. Criação de Matrizes

   1. Crie uma matriz 3x3 com valores de 9 a 17 usando np.arange() e .reshape()
      
   2. Crie uma matriz booleana onde elementos > 10 sejam True

2. Operações Matemáticas
   Para as matrizes:

   A = np.array([[1,0], [2,3]])
   B = np.array([[4,1], [0,5]])

   Calcule manualmente e depois verifique:

   1. Produto Hadamard (element-wise)
      
   2. Multiplicação matricial

3. Sistemas Lineares
   Resolva manualmente e usando NumPy:
   \[ \begin{cases} 3x + 2y = 1 \\ x - y = 2 \end{cases} \] Dica: Use np.linalg.solve()

4. Decomposição Matricial
   Para a matriz:

   C = np.array([[2, 1], [1, 2]])

   1. Execute decomposição LU manualmente (mostre todas as etapas)
      
   2. Compare com o resultado de scipy.linalg.lu()

5. Manipulação de Dados
   Converta a seguinte lista de dicionários em matriz NumPy:

   data = [{'age': 25, 'height': 170}, {'age': 30, 'height': 165}]

6. Desafio Conceitual

   1. Por que matrizes singulares não podem ser invertidas? Dê um exemplo
      
   2. Explique a diferença entre np.array([[1,2],[3,4]]) e np.matrix([[1,2],[3,4]])

7. Otimização
   Implemente a multiplicação de matrizes usando apenas loops for e compare o desempenho com np.dot()

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