Questão 1:

Considere uma amostra aleatória i.i.d. \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) de uma distribuição exponencial com parâmetro \(\lambda\). A função de densidade de probabilidade é dada por:

\[f(x; \lambda) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x > 0\]

  1. Encontre o estimador de máxima verossimilhança (EMV) para \(\lambda\).
  2. Implemente uma função em R que calcule o EMV para \(\lambda\) dado o seguinte vetor de dados:
set.seed(2)
x <- rexp(1000, rate = 0.5)

Questão 2:

Considere uma amostra aleatória i.i.d \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) de uma distribuição Poisson com parâmetro \(\lambda\). A função de probabilidade é dada por:

\[P(X = x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}, \quad x = 0, 1, 2, \ldots\]

  1. Encontre o estimador de máxima verossimilhança (EMV) para \(\lambda\).
  2. Implemente uma função em R que calcule o EMV para \(\lambda\) dado um vetor de dados:
set.seed(2)
x <- rpois(1000, lambda  = 2)

Questão 3:

Considere uma amostra aleatória i.i.d \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) de uma distribuição Geométrica com parâmetro \(p\). A função de probabilidade é dada por:

\[P(X = x) = p(1 - p)^{x} , \quad x = 0,1, 2, 3, \ldots\]

  1. Encontre o estimador de máxima verossimilhança (EMV) para \(p\).
  2. Implemente uma função em R que calcule o EMV para \(p\) dado um vetor de dados. Use o seguinte código para gerar uma amostra de teste:
set.seed(2)
x <- rgeom(1000, prob = 0.5)