Segmentação de Imagens PolSAR baseada em Entropia de Shannon e Modelos Matriciais

Jodavid Ferreira

Departamento de Estatística — UFPE

Coautores: Abraão D. C. Nascimento (UFPE) & Alejandro C. Frery (VUW)

Sobre a Apresentação

Estrutura:

Imagens PolSAR e seus desafios
Modelos Estatísticos: Wishart e \(\mathcal{G}^0_m\)
Entropia de Shannon e Teoria da Informação
Algoritmo de Segmentação (SEM)
Aplicações Reais e Simulação
Conclusões e Trabalhos Futuros

Artigo: Unsupervised segmentation of PolSAR data with complex Wishart and \(\mathcal{G}^0_m\) distributions and Shannon entropy
Publicado em: Statistics and Computing, 33:129 (2023)
DOI: 10.1007/s11222-023-10298-0

Introdução

RADAR é um acrônimo de Radio Detection and Ranging
Ele é baseado nos princípios de propagação eletromagnética, em que uma onda eletromagnética é emitida por uma fonte e é retroespalhada para o radar
Uma imagem de radar é o resultado de uma interação entre a energia emitida pelo radar e o objeto sob estudo, e a aparência da imagem é influenciada pela forma e a textura do alvo;

Níveis de textura de acordo com o sinal retornado.

Introdução

Radar de Abertura Sintética (Synthetic Aperture Radar - SAR) geralmente são estão acoplado a uma plataforma que transmite micro-ondas ao longo de sua rota planejada em direção a um cenário geográfico;
Pulsos são emitidos em direção ao cenário e o radar recebe os sinais de retorno que são processados para formar uma imagem, estes podem ser na polarização circular ou linear.

Quando apenas um par de direções é usado, as imagens geradas são chamadas de SAR monopolarizadas e, quando várias direções são usadas, o processo é chamado de PolSAR (SAR Polarimétrico);

Introdução

Vantagens

Images SAR podem ser obtidas de qualquer lugar (terra, mar,…);
a qualquer momento (dia ou noite);
em quase todas as condições climáticas (nuvens, chuva);
produzem imagens de alta resolução (alta largura de banda) das superfícies estudadas;

Desvantagens

custo elevado para aquisição e manutenção dos satélites e radares;
as imagens são afetadas por um ruído chamado speckle, que cria uma aparência granulada nas imagens, dificultando a interpretação e análise;

Introdução

Speckle em imagem SAR.

Dados Polarimétricos multi-look

Cada pixel de uma imagem PolSAR pode ser associado a uma matriz de espalhamento complexa:

\[ \mathbf{S}= \begin{pmatrix} S_{hh} & S_{hv}\\ S_{vh} & S_{vv} \end{pmatrix}, \]

em que \(S_{hh}\), \(S_{hv}\), \(S_{vh}\) e \(S_{vv}\) são os coeficientes complexos da matriz de espalhamento para os respectivos canais de polarização. Os subscritos \(h\) e \(v\) representam as polarizações horizontal e vertical, respectivamente.

Cada coeficiente complexo pode ser representado na forma polar como

\[ S_{rs}=A_{rs}e^{i\phi_{rs}} =A_{rs}\cos(\phi_{rs}) +iA_{rs}\sin(\phi_{rs}), \]

em que

\[ \operatorname{Re}(S_{rs})=A_{rs}\cos(\phi_{rs}), \qquad \operatorname{Im}(S_{rs})=A_{rs}\sin(\phi_{rs}). \]

Além disso,

\[ A_{rs}=|S_{rs}| \]

é a amplitude, \(\phi_{rs}=\arg(S_{rs})\) é a fase do coeficiente de espalhamento, \(i=\sqrt{-1}\) é a unidade imaginária, e \(r,s\in\{h,v\}\).

Dados Polarimétricos multi-look

Na prática, as polarizações cruzadas são muito semelhantes; ou seja, \(S_{hv} \approx S_{vh}\).

Dados Polarimétricos multi-look

Dados PolSAR single-look não levam em conta o controle do efeito speckle sobre as imagens

Um processo para contornar isso é chamado de processamento multi-look

Dados Polarimétricos multi-look

\(\mathbf{z}_i = (S_1^{(i)}\,S_2^{(i)}\,\cdots\,S_p^{(i)})^{\top} \, \in \mathbb{C}^{p}\) é o \(i\)-ésimo vetor associado a \(p\) canais de polarização em uma amostra de \(L\) informações extraídas da mesma cena, para \(i=1,\ldots,L\).

Dados Polarimétricos multi-look

Uma imagem PolSAR pode ser entendida como uma cena, na qual cada entrada está associada a uma matriz hermitiana definida positiva, o que requer o uso de métodos de processamento multivariado

Modelos Estatísticos para Dados PolSAR

O Modelo Wishart Complexo (\(\mathcal{W}_m\))

Se o alvo possui textura uniforme (speckle plenamente desenvolvido), \(\mathbf{Z}\) segue a distribuição Wishart Complexa Escalada:

\[f_{\mathbf{Z}}(\dot{\mathbf{Z}};\boldsymbol\Sigma,L) = \frac{L^{mL}|\dot{\mathbf{Z}}|^{L-m}}{|\boldsymbol\Sigma|^L \Gamma_m(L)}e^{ -L \operatorname{tr}(\boldsymbol\Sigma^{-1}\dot{\mathbf{Z}})}\]

\(\boldsymbol\Sigma = \mathbb{E}[\mathbf{Z}]\): Matriz de covariância populacional
\(\Gamma_m(L) = \pi^{m(m-1)/2} \prod_{i=0}^{m-1} \Gamma(L-i)\): Função gama multivariada
Suporte: \(\Omega_+\) (matrizes Hermitianas positivas definidas)

Modelos Estatísticos para Dados PolSAR

Modelo Multiplicativo e a Distribuição \(\mathcal{G}^0_m\)

Em alvos heterogêneos (áreas urbanas, florestas), o modelo multiplicativo: \[\mathbf{Z} = X \cdot \mathbf{Y}, \quad X \perp \mathbf{Y}\]

\(\mathbf{Y} \sim \mathcal{W}_m(\boldsymbol\Sigma, L)\): speckle multilook
\(X \sim \text{Gama-Inversa}(-\alpha, (-\alpha-1)\mu)\): textura do terreno

Integrando (Freitas et al., 2005), obtém-se \(\mathbf{Z} \sim \mathcal{G}^0_m(\alpha, \boldsymbol\Sigma, L)\):

\[f_{\mathbf{Z}}(\dot{\mathbf{Z}};\alpha,\boldsymbol\Sigma,L) = \frac{L^{Lm}\Gamma(Lm-\alpha)|\dot{\mathbf{Z}}|^{L-m}}{|\boldsymbol\Sigma|^L(-\alpha-1)^{\alpha}\Gamma(-\alpha)\Gamma_m(L)} \big[-\alpha-1+L\operatorname{tr}(\boldsymbol\Sigma^{-1}\dot{\mathbf{Z}})\big]^{\alpha-Lm}\]

Modelos Estatísticos para Dados PolSAR

Interpretação Física do Parâmetro \(\alpha\)

O parâmetro \(\alpha \in \mathbb{R}_-\) controla a rugosidade/textura da cena:

Regime	Valor de \(\alpha\)	Exemplo
Extremamente homogêneo	\(\alpha \to -\infty\)	Oceano calmo, pastagem
Textura moderada	\(\alpha \approx -4\)	Florestas
Altamente heterogêneo	\(\alpha \to -1\)	Áreas urbanas

Propriedade Fundamental: Quando \(\alpha \to -\infty\), a distribuição \(\mathcal{G}^0_m\) converge para a Wishart \(\mathcal{W}_m\).

Fig. 1 — Alvos reais e estimativas de \(\alpha\) sob o modelo \(\mathcal{G}^0_m\): urbano (\(\hat{\alpha}=-1.83\)), floresta (\(\hat{\alpha}=-4.02\)), pastagem (\(\hat{\alpha}=-9.60\)).

Modelos Estatísticos para Dados PolSAR

Hierarquia dos Modelos

Quatro configurações segundo a dimensão paramétrica:

\(\mathcal{G}^0_m(\alpha, \boldsymbol\Sigma, L)\): Todos os parâmetros estimados
\(\mathcal{G}^0_m(\alpha, \boldsymbol\Sigma, L_0)\): ENL fixado e conhecido
\(\mathcal{W}_m(\boldsymbol\Sigma, L)\): Caso limite Wishart com \(L\) estimado
\(\mathcal{W}_m(\boldsymbol\Sigma, L_0)\): Caso Wishart com \(L_0\) fixado

\[\mathcal{G}^0_m(\alpha,\boldsymbol\Sigma,L) \supset \mathcal{G}^0_m(\alpha,\boldsymbol\Sigma,L_0) \supset \mathcal{W}_m(\boldsymbol\Sigma,L_0)\] \[\mathcal{G}^0_m(\alpha,\boldsymbol\Sigma,L) \supset \mathcal{W}_m(\boldsymbol\Sigma,L) \supset \mathcal{W}_m(\boldsymbol\Sigma,L_0)\]

Entropia de Shannon e Teoria da Informação

A Classe de Entropias \((h, \phi)\)

Proposta por Salicrú et al. (1994), generaliza diversas medidas de entropia clássicas:

\[H_{\phi}^h(\boldsymbol\theta) = h \left( \int_{\Omega_+} \phi\left( f_{\mathbf{Z}}(\dot{\mathbf{Z}}; \boldsymbol\theta) \right) d\dot{\mathbf{Z}} \right)\]

Entropia \((h, \phi)\)	\(h(y)\)	\(\phi(x)\)
Shannon	\(y\)	\(-x \ln x\)
Tsallis restrita (\(\beta \ne 1\))	\(y\)	\(\frac{x^\beta - x}{1-\beta}\)
Rényi (\(\beta \ne 1\))	\(\frac{\ln y}{1-\beta}\)	\(x^\beta\)

A Entropia de Shannon fornece uma medida escalar do contraste/desordem das matrizes de covariância.

Entropia de Shannon e Teoria da Informação

Teorema 1: Entropia de Shannon para \(\mathcal{G}^0_m\)

Resultado Principal (Nascimento, Ferreira & Frery, 2023):

Se \(\mathbf{Z} \sim \mathcal{G}^0_m(\alpha, \boldsymbol\Sigma, L)\), a Entropia de Shannon \(H_S(\mathcal{G}^0_m)\) é dada em forma fechada por:

\[H_S(\mathcal{G}^0_m) = H_S(\alpha, \boldsymbol\Sigma, L) = (m - L)\left[\log|\boldsymbol\Sigma| + \psi^{(0)}_m(L)\right]\]

\[+ \left[-m\log L + m\log(-\alpha-1) - m\psi^{(0)}(-\alpha)\right]\]

\[+ (mL - \alpha)\left[\psi^{(0)}(mL - \alpha) + \log(-\alpha-1) - \psi^{(0)}(-\alpha)\right]\]

\[- \log\frac{L^{mL}\Gamma(Lm-\alpha)}{|\boldsymbol\Sigma|^L(-\alpha-1)^\alpha\Gamma(-\alpha)\Gamma_m(L)}\]

onde \(\psi^{(0)}(\cdot)\) é a função digama.

Entropia de Shannon e Teoria da Informação

Caso Limite: Entropia da Wishart

Fazendo \(\alpha \to -\infty\) no Teorema 1, recupera-se o resultado de Frery et al. (2013):

\[H_S(\mathcal{W}_m) = \frac{m(m-1)}{2}\log \pi - m^2 \log L + m\log|\boldsymbol\Sigma| + mL + (m-L)\psi_m^{(0)}(L) + \sum_{k=0}^{m-1} \log\Gamma(L-k)\]

\(H_S(\mathcal{W}_m)\) é o limite superior para \(H_S(\mathcal{G}^0_m)\)
Adicionar rugosidade (textura) reduz a entropia
Consistente com a hierarquia \(\mathcal{G}^0_m \supset \mathcal{W}_m\)

Entropia de Shannon e Teoria da Informação

Sensibilidade da Entropia de Shannon

Fig. 3 — Curvas de entropia de Shannon dos modelos \(\mathcal{W}_3\) (preto) e \(\mathcal{G}^0_3\) para diferentes valores de \(\alpha\), variando a intensidade.

A entropia capta variações mínimas em:
- Matriz de covariância \(\boldsymbol\Sigma\)
- Parâmetro de textura \(\alpha\)
Convergência visual: \(\mathcal{G}^0_m \to \mathcal{W}_m\) quando \(\alpha \to -\infty\)

Entropia de Shannon e Teoria da Informação

Distribuição Assintótica do Estimador

Lema 1 (Pardo et al., 1997): Seja \(\hat{\boldsymbol\theta}\) o MLE baseado em amostra de tamanho \(T\):

\[\sqrt{T}\left( H_S(\hat{\boldsymbol\theta}) - H_S(\boldsymbol\theta) \right) \xrightarrow{\mathcal{D}} \mathcal{N}\left(0, \sigma_H^2(\boldsymbol\theta)\right)\]

Com variância assintótica via Método Delta: \[\sigma_H^2(\boldsymbol\theta) = \boldsymbol\delta^T \mathcal{K}(\boldsymbol\theta)^{-1} \boldsymbol\delta\]

\(\boldsymbol\delta = \left[ \frac{\partial H_S}{\partial \alpha},\; \left(\frac{\partial H_S}{\partial \operatorname{vec}(\boldsymbol\Sigma)}\right)^T,\; \frac{\partial H_S}{\partial L} \right]^T\)
\(\mathcal{K}(\boldsymbol\theta)\): analiticamente intratável → usamos Matriz de Informação Observada (OIM) em janelas \(9 \times 9\)

4. Algoritmo de Segmentação Não Supervisionada

O Modelo de Agrupamento

Classificar \(T\) pixels em \(c\) regiões/classes:

Para cada pixel \(i\):
- calcula-se a entropia estimada \(\hat{H}_S(i)\) em janela \(9 \times 9\)
Dado que o pixel \(i\) pertence à classe \(g\), a densidade condicional é assintoticamente normal (pelo Lema 1):

\[p(\dot{H}_S(i) \mid U_{ig} = 1;\; \boldsymbol\theta_g) = f_{\mathcal{N}}\left(\dot{H}_S(i);\; \mu_g, \sigma_g^2\right)\]

\(U_{ig} \in \{0, 1\}\): variável latente de pertinência
O modelo de segmentação\(\rightarrow\) mistura de \(c\) gaussianas para a entropia observada

Algoritmo SEM

Stochastic Expectation-Maximization

Vantagens sobre o EM tradicional:

Evita convergência para máximos locais ruins
Não exige soluções analíticas na etapa E
Excelente desempenho em misturas de dados SAR

Passos por iteração \(k\):

Passo E: Probabilidades a posteriori \(\hat{\tau}_g^{(k)}(i)\)
Passo S: Amostra rótulos via Multinomial
Passo M: Atualiza \((\hat{\mu}_g, \hat{\sigma}_g^2, \hat{\pi}_g)\)

Detalhes do Algoritmo SEM

Passo E — Probabilidade de cada pixel pertencer à classe \(g\): \[\hat{\tau}_g(\boldsymbol\theta^{(k)} \mid \dot{H}_S(i)) = \frac{\hat{\pi}_g^{(k)}(i)\, f_{\mathcal{N}}(\dot{H}_S(i);\boldsymbol\theta_g^{(k)})}{\sum_{g'=1}^{c}\hat{\pi}_{g'}^{(k)}(i)\, f_{\mathcal{N}}(\dot{H}_S(i);\boldsymbol\theta_{g'}^{(k)})}\]

Passo S — Sorteio estocástico: \(R_i^{(k)} \sim \mathcal{M}(1, \boldsymbol\tau_i^{(k)})\)

Passo M — Atualização dos parâmetros: \[\hat{H}_{Sg}^{(k+1)} = \frac{1}{T_g}\sum_{i=1}^{T_g} \dot{H}_S(i), \qquad \hat{\sigma}_{Sg}^{(k+1)} = \sqrt{\frac{1}{T_g}\sum_{i=1}^{T_g}(\dot{H}_S(i) - \hat{H}_{Sg}^{(k+1)})^2}\]

Critério de parada: \(\left|\frac{\mathcal{L}(\boldsymbol\theta^{(k)}) - \mathcal{L}(\boldsymbol\theta^{(k+1)})}{\mathcal{L}(\boldsymbol\theta^{(k+1)})}\right| < \varepsilon\), com \(\varepsilon = 10^{-5}\)

Quatro Métodos Propostos

Sigla	Modelo	ENL
S-\(H_S(\mathcal{W}_m(\hat{\boldsymbol\Sigma}, L_0))\)	Wishart	Fixo
S-\(H_S(\mathcal{W}_m(\hat{\boldsymbol\Sigma}, \hat{L}))\)	Wishart	Estimado
S-\(H_S(\mathcal{G}^0_m(\hat{\alpha}, \hat{\boldsymbol\Sigma}, L_0))\)	\(\mathcal{G}^0_m\)	Fixo
S-\(H_S(\mathcal{G}^0_m(\hat{\alpha}, \hat{\boldsymbol\Sigma}, \hat{L}))\)	\(\mathcal{G}^0_m\)	Estimado

Comparados com \(k\)-means e \(k\)-medoids (9 variáveis reais da vetorização de \(\mathbf{Z}\))

Métricas: Acurácia, Coeficiente Kappa (\(\kappa\)), Var(\(\kappa\)), Gwet AC1 (GAC1)

5. Experimentos e Resultados

Experimentos e Resultados

Mapas de Entropia

Fig. 4 — Decomposição de Pauli e mapas de entropia sob \(\mathcal{W}_m\) e \(\mathcal{G}^0_m\) para San Francisco, Munique e Demmin (janela \(9 \times 9\)).

Experimentos e Resultados

Estudo com Dados Simulados

Fig. 8 — Modelo “cartoon” com 4 regiões (parâmetros reais de Demmin e Munique). (a) Ground truth, (b-g) Segmentações.

Cenário: Diferenças sutis entre covariâncias e textura

Método	Acurácia	\(\kappa\)
\(k\)-means	0.494	0.151
\(k\)-medoids	0.568	0.325
S-\(H_S(\mathcal{W}_m, L_0)\)	0.906	0.870
S-\(H_S(\mathcal{W}_m, \hat{L})\)	0.883	0.839
S-\(H_S(\mathcal{G}^0_m, L_0)\)	0.922	0.891
S-\(H_S(\mathcal{G}^0_m, \hat{L})\)	0.897	0.857

Experimentos e Resultados

Aplicação 1: San Francisco (EUA)

Fig. 5 — AIRSAR, banda L, 4 looks. (a) Ground truth, (b) Áreas selecionadas, (c–f) Segmentações.

Cenário: Classes bem separadas (Urbano, Floresta, Oceano)

Método	Acurácia	\(\kappa\)
\(k\)-means	0.296	\(\approx 0\)
\(k\)-medoids	0.402	0.131
S-\(H_S(\mathcal{W}_m, L_0)\)	0.991	0.986
S-\(H_S(\mathcal{W}_m, \hat{L})\)	0.990	0.985
S-\(H_S(\mathcal{G}^0_m, L_0)\)	0.980	0.969
S-\(H_S(\mathcal{G}^0_m, \hat{L})\)	0.967	0.949

Experimentos e Resultados

Aplicação 2: Munique (Alemanha)

Fig. 6 — E-SAR, banda L, 3.2 looks. (a) Ground truth, (b–f) Segmentações.

Cenário: Regiões altamente misturadas (Floresta, Área construída, Campo)

Método	Acurácia	\(\kappa\)
\(k\)-means	0.559	\(\approx 0\)
\(k\)-medoids	0.692	0.393
S-\(H_S(\mathcal{W}_m, L_0)\)	0.820	0.689
S-\(H_S(\mathcal{W}_m, \hat{L})\)	0.827	0.701
S-\(H_S(\mathcal{G}^0_m, L_0)\)	0.822	0.678
S-\(H_S(\mathcal{G}^0_m, \hat{L})\)	0.840	0.718

Experimentos e Resultados

Aplicação 3: Demmin (Alemanha)

Fig. 7 — AgriSAR, 8 looks. Região agrícola com 5 classes de cultivo.

Cenário: Imagem agrícola, 5 classes, alto \(L\)

Método	Acurácia	\(\kappa\)
\(k\)-means	0.316	0.198
\(k\)-medoids	0.402	0.284
S-\(H_S(\mathcal{W}_m, L_0)\)	0.774	0.728
S-\(H_S(\mathcal{W}_m, \hat{L})\)	0.755	0.705
S-\(H_S(\mathcal{G}^0_m, L_0)\)	0.601	0.519
S-\(H_S(\mathcal{G}^0_m, \hat{L})\)	0.594	0.512

Experimentos e Resultados

Análise Comparativa dos Resultados

Cenário	Melhor Modelo	Justificativa
San Francisco (classes bem separadas)	\(\mathcal{W}_m(\boldsymbol\Sigma, L_0)\)	Parcimônia favorece separação clara
Munique (classes misturadas)	\(\mathcal{G}^0_m(\hat\alpha, \hat{\boldsymbol\Sigma}, \hat{L})\)	Flexibilidade captura rugosidade
Demmin (agrícola, alto \(L\))	\(\mathcal{W}_m(\boldsymbol\Sigma, L_0)\)	Alto multilooking suaviza textura
Simulação (diferenças sutis)	\(\mathcal{G}^0_m(\hat\alpha, \hat{\boldsymbol\Sigma}, L_0)\)	Modelagem de textura é crucial

Todos os métodos baseados em entropia superam \(k\)-means e \(k\)-medoids em todos os cenários!

Conclusões

Nova Expressão Analítica: Derivou-se a Entropia de Shannon em forma fechada para a distribuição \(\mathcal{G}^0_m\) (Teorema 1)
Propriedades Assintóticas: A aproximação normal e o Método Delta fornecem base teórica sólida para o SEM
Desempenho Superior: A segmentação baseada em Entropia superou \(k\)-means e \(k\)-medoids
Recomendação Prática:
- \(\mathcal{W}_m\) → alvos bem separados ou alto número de looks
- \(\mathcal{G}^0_m\) → imagens complexas, urbanas ou com alta heterogeneidade de textura

Referências Selecionadas

Nascimento, A.D.C., Ferreira, J.A., Frery, A.C. (2023). Unsupervised segmentation of PolSAR data with complex Wishart and \(\mathcal{G}^0_m\) distributions and Shannon entropy. Statistics and Computing, 33:129.
Freitas, C.C., Frery, A.C., Correia, A.H. (2005). The polarimetric \(\mathcal{G}^0\) distribution for SAR data analysis. Environmetrics, 16(1), 13–31.
Frery, A.C., Cintra, R.J., Nascimento, A.D.C. (2013). Entropy-based statistical analysis of PolSAR data. IEEE TGRS, 51(6), 3733–3743.
Salicrú, M. et al. (1994). On the applications of divergence type measures in testing statistical hypothesis. J. Multivariate Anal., 51(2), 372–391.
Pardo, L. et al. (1997). Large sample behavior of entropy measures when parameters are estimated. Commun. Stat. Theory Methods, 26(2), 483–501.
Ferreira, J.A., Nascimento, A.D.C. (2020). Shannon entropy for the \(\mathcal{G}^0_I\) model. IEEE JSTARS, 13, 2547–2553.

Obrigado!

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Contato:
Jodavid A. Ferreira — jodavid.ferreira@ufpe.br
Abraão D. C. Nascimento — abraao@de.ufpe.br
Alejandro C. Frery — alejandro.frery@vuw.ac.nz

DOI: 10.1007/s11222-023-10298-0